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By Heinz Junek

Dieses Lehrbuch ist eine leicht verständliche und systematische Einführung in die research. Ausgangspunkt ist der Körper der reellen Zahlen, auf dem unter maßgeblicher Verwendung der Ordnungsrelation die klassischen elementaren Funktionen konstruiert werden. Dies entspricht dem Vorgehen in der Schule. Das weitere Eindringen in die research erfordert die größere Flexibilität des Grenzwertbegriffs. Mit diesem tool wird in den nachfolgenden Abschnitten in die Theorie der Folgen und Reihen, die Theorie der stetigen Funktionen sowie in die Differential- und Integralrechnung eingeführt. Das Buch schließt mit einem Ausblick auf komplexe Zahlen und komplexe Funktionen. Vielfältige Anwendungen sowie zahlreiche Beispiele, Abbildungen und Aufgaben unterstützen den Leser bei der Aneignung des Stoffes. Lösungshinweise und vollständige Lösungen der Aufgaben komplettieren das Buch.

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FUr be- q liebiges kEN" setzen wir m = kq und n = kp. Dann sind mit ist f(r)= E R, und das liefert fer) 2 Ungleichung ergibt 1- xn ::;; (1- = er t Nun zeigen wir fe-x) :~) n :s; 1 fUr Ix I< n, und somit ist li~ (1- :~) n = 1 E x. Dann gilte x r li~ = f(x)-', li~ (I + ; r 'Ii~ ( I - ; r = li~ [(I +;)(1-;) SchlieBlich sei x und n = mp , und soq fUr aile r E Q. Die Bemoullische nach dem EinschlieBungssatz. Hieraus folgt nun fe-x) rn m m~cn = f(x)-I fUr aile x = n lim(I+~)n = lim(I+~)mp/q =e P/ q =e r .

X3 malstellen genau: - 3x + 1 auf 2 Dezi- Llisung: Es istf(-2) = -1,/(0) = 1'/(1) = -1 undf(2) = 3. Die Funktionfhat daher in den drei Intervallen [-2,0], [0, 1] und [1,2] Vorzeichenwechsel, und nach dem Satz von Bolzano enthlilt jedes dieser Intervalle eine Nullstelle. Wir berechnen die in [-2,0] enthaltene Nullstelle nach dem Halbierungsverfahren. 75) > O. al >0, Das Verfahren muB so lange fortgesetzt werden, bis bn - an = 2 . 01 ist. 875. 01 eine Nullstelle. 01. Schnittpunkt mY; write ("Nullstelle=", a).

Dann gilt wirklich g: I -+ I . 3 die Abschlitzung . s+t . s-t 1 2 . I 1 . s-t 1 . I I I Icoss-cost I= 21 sm2-· slOT ~ ·sm . sm2- ~ sm . s-I . 842 < I ist die Kontraktionsbedingung des Fixpunktsatzes erfUllt. 639, ... 3: Es sei 0 < a ~ I fest gewiihlt, und es sei g(x) = x _ x - a . 2 a) Weisen Sie nach, daB g das Intervall 1= [ I] in sich abbildet und daB q = 1- l' 1 eine Kontraktionskonstante ist! fa b) Zeigen Sie, daB die zugeMrige Approximationsfolge (xn ) zur Berechnung von geeignet ist! 4! 5 existierenden) 3.

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