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By Professor Dr. Jiří Matoušek, Professor Dr. Jaroslav Nešetřil (auth.)

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Ist die Lösung verdächtig einfach? Was könnte es noch heißen? Eine mögliche Fehlerquelle ist der unkritische Gebrauch von Taschenrechnern und Computern. Auf die Frage, auf wie viele Nullen die dezimale Darstellung der Zahl 50! = 50 . 49 . 48 ..... 1 endet, antwortete ein Student: 60. weil ein Taschenrechner mit einem 8-stelligen Display 50! 10 64 berechnet. =30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 auf zwölf Nullen endet. 23+ .. 4) bestimmen. Doch natürlich können auch die Programmierer solcher Systeme Fehler machen, 9 daher ist es besser die Ergebnisse noch einmal zu überprüfen.

5. (a) Angenommen R ist eine transitive Relation auf der Menge Z der ganzen Zahlen, und wir wissen, dass für je zwei ganze Zahlen a, b E Z mit la - bl = 2 die Relation aRb erfüllt ist. Ist jedes R, dass diese Bedingung erfüllt, notwendig eine Äquivalenzrelation? ) (b) Angenommen R ist eine transitive Relation auf Z und wir wissen, dass für je zwei Zahlen a, bE Z, mit la - bl E {3,4} die Relation aRb gilt. Ist dann R notwendig eine Äquivalenzrelation? 6. Eine Äquivalenzrelation '" auf der Menge Z heißt eine Kongruenzrelation, wenn die folgende Bedingung für alle a, x, y E Z gilt: Ist x '" y, dann ist auch a + x '" a + y.

20 Grundlagen kleinste Zahl in Y, nennen wir sie no. Nun wissen wir aus (i), dass no > 1 ist, und weil no die kleinste Zahl ist, die nicht in X ist, musS die Zahl no -1 in X enthalten sein. Daraus folgt aber mit (ii), dass no doch ein Element von X ist, ein Widerspruch. 0 Eine Anmerkung noch: Diese Argumentation (beginnend mit "Sei no die kleinste Zahl, welche die zu beweisende Aussage verletzt" einen Widerspruch herzuleiten, dass es nämlich eine noch kleinere" böse" Zahl geben muss) wird manchmal anstelle von vollständiger Induktion benutzt.

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