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By Rainer Oloff

Die Relativitätstheorie ist in ihren Kernaussagen nicht mehr umstritten, gilt aber noch immer als kompliziert und nur schwer verstehbar. Das liegt unter anderem an dem aufwendigen mathematischen Apparat, der schon zur Formulierung ihrer Ergebnisse und erst recht zum Nachvollziehen der Argumentation notwendig ist. In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie systematisch entwickelt, das ist die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten einschließlich Differentiation und Integration. Die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Die zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Einstein'sche Feldgleichung, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzt. Ausführlich werden die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. Dieser textual content richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Für die neue Auflage wurde das Buch durchgesehen und alle bekannt gewordenen Fehler korrigiert.

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5 Die Basen X = {Xl,'" ,x n } und X = {Xl,'" ,Xn } in E seien durch Xi = a1xj und Xj = ß;Xi gekoppelt. Dann werden die Komponenten von f E E~ nach der Formel von der Basis X auf die Basis X umgerechnet. Beispiel. Zu f E Ei gehört eine Abbildung T E L(E,E) mit der Matrix (Tk) bzgl. einer Basis X. Wir hatten schon geklärt, daß die Elemente Tk die Komponenten f~ des Tensors sind. 1 erinnert. 4 ßi fkaJ. An Operationen mit Tensoren Zunächst sei daran erinnert, daß E~ ein linearer Raum ist. Zwei Tensoren fund 9 gleichen Typs (man sagt auch: gleichen Indexbildes) werden nach der Formel addiert.

Angewendet auf die Variablen ai~, ... ,Xj'q ergibt sich Wenn f E E~ überhaupt in obiger Form darstellbar ist, dann lautet die Darstellung Diese Gleichung stimmt, wenn die Variablen aus der verwendeten Basis von E und der dazu dualen Basis genommen werden. Aus Gründen der Multilinearität stimmt sie dann auch allgemein. 2 sind jetzt gesichert. Wie wir in dem soeben beendeten Beweis festgestellt haben, berechnen sich die Koordinaten eines Tensors bzgl. 3 genannten Basis in erfreulich einfacher Weise.

Der zu einem orientierten Raum duale Raum wird orientiert durch die Vereinbarung, daß die zu einer positiv orientierten Basis duale Basis auch positiv orientiert ist. Beispiel 1. Im Raum jRn ist die kanonische Basis üblicherwiese positiv orientiert. Damit liegt eine Basis von n- Tupeln (~~, ... ,~~) genau dann in der Orientierung, wenn für deren Komponenten det (~O > 0 gilt. Beispiel 2. Eine gekrümmte Fläche in jR3 heißt orientiert, wenn eine der beiden Seiten ausgezeichnet ist. Bei einer geschlossenen Fläche (soll hier heißen Oberfläche eines Körpers) ist das üblicherweise die Außenseite, bei einer Fläche der Form z = f(x,y) die Oberseite.

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