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By Prof. Dr. Lars Grüne, Prof. Dr. Oliver Junge (auth.)

Das Buch bietet eine kompakte und grundlegende Einführung in die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen aus der Perspektive der dynamischen Systeme im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Über die Diskussion der grundlegenden Lösungstheorie und der Theorie linearer Systeme hinaus werden insbesondere analytische und numerische Lösungsverfahren, grundlegende Konzepte der Theorie dynamischer Systeme, Stabilität, Verzweigungen und Hamilton-Systeme behandelt. Der Stoff wird durchgängig anhand von Beispielen, Übungsaufgaben und Computerexperimenten illustriert und vertieft.

Das Buch ist besonders für das Bachelor-Studium intestine geeignet, sowohl vorlesungsbegleitend zum Modul "Gewöhnliche Differentialgleichungen" für Studierende im three. Semester als auch zum Selbststudium.

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12) approximiert wird. Wir veranschaulichen die Linearisierung in einem Gleichgewicht durch das bereits bekannte Pendelbeispiel x(t) ˙ = x2 (t) −g sin(x1 (t)) . 13) Bereits in der Einleitung haben wir gesehen, dass diese Gleichung unendlich viele Gleichgewichte besitzt. 2. 15) erhalten. F¨ ur das Gleichgewicht x∗1 stellen wir die L¨osungen grafisch dar. 81 gesetzt wurde. 12) zu verschiedenen Startwerten. Die nichtlineare L¨osung ist darin durchgezogen und die lineare gestrichelt gezeichnet. Man sieht dabei gut, dass die L¨osungen um so n¨aher aneinander liegen, je n¨aher der Anfangswert y0 an x0 = x∗1 = (π, 0)T liegt.

LOSUNGSEIGENSCHAFTEN 48 dass f¨ ur jeden Anfangswert y0 ∈ Rd mit y0 − x0 ≤ δ und alle t ∈ I die Absch¨atzung x(t; t0 , y0 ) − x(t; t0 , x0 ) − Φ(t; t0 )(y0 − x0 ) ≤ ε y0 − x0 gilt. Beweis. Wir w¨ahlen eine Anfangszeit t0 und einen Anfangswert x0 . 9) ≤ δ und alle t ∈ I. Wir K = {(t, y) | t ∈ I, y − x(t; t0 , x0 )) ≤ LI δ} und die Funktion ρ(t, y) := f (t, y) − f (t, x(t; t0 , x0 )) − A(t)(y − x(t; t0 , x0 )). 4 die Absch¨atzung ρ(t, y) ≤ r( y − x(t; t0 , x0 ) ). W¨ahle nun ε > 0 und I ⊂ It0 ,x0 kompakt und setze T := maxt∈I |t − t0 | und D := maxt,s∈I Φ(t; s) , wobei wir die von der Euklidischen Norm induzierte Matrixnorm verwenden.

H. ein eindeutiger Punkt x∗ ∈ B, f¨ ur den T (x∗ ) = x∗ gilt. Beweis. W¨ahle ein beliebiges x0 ∈ B und betrachte die induktiv f¨ ur m = 0, 1, 2, . . definierte Folge xm+1 = T (xm ) ∈ B. 6) folgt induktiv T (xm )−T (xm+1 ) V ≤ k T (xm−1 )−T (xm ) V ≤ . . ≤ k m x0 −T (x0 ) V Damit folgt f¨ ur alle n ≥ m n−1 T (xm ) − T (xn ) V ≤ T (xl ) − T (xl+1 ) V l=m n−1 ≤ k l x0 − T (x0 ) V l=m ∞ ≤ km k l x0 − T (x0 ) V l=0 m k x0 − T (x0 ) V . 1−k Daher ist xm eine Cauchy-Folge, die wegen der Banachraum-Eigenschaft von V gegen einen Grenzwert x∗ ∈ V konvergiert, der wegen der Abgeschlossenheit von B auch wieder in B liegt.

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