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By Peter T. Saunders

Quickly jeder Wissenschaftler hat schon von der Katastrophentheorie gehort und wei, da es dariiber in der letzten Zeit eine Menge Diskussionen gegeben hat. Allerdings wissen die meisten nur so viel iiber dieses Thema, wie sie vielleicht in irgend einem renowned wissenschaftlichen Artikel gelesen haben. Ziel dieses Buches ist es, jedem Naturwissenschaftler und Studenten die Moglichkeit zu geben, sich auf einem relativ einfachen mathematischen Niveau etwa einem einjahrigen mathematischen Universitatskurs ent sprechend die Theorie so weit verstandlich zu machen, wie dies zum Selbststudium weiterfiihrender Arbeiten oder zu eigenen Untersuchungen notig ist. Viele Leser werden auf eine Menge von Konzepten sto en, die fur sie neu sind; dies ist jedoch unvermeidbar, will guy eine halbwegs angemessene Darstellung der Theorie geben. Trotzdem habe ich mich soweit als moglich auf die Verwendung bereits gebrauchlicher Begriffe konzentriert. Es ging mir darum, die Theorie zu erklaren; es ging mir nicht darum, formale Beweise anzugeben, und es ist dariiber hinaus eben aueh sehwierig, die Dinge in Begriffen verstandlieh zu machen, die gerade erst eingefiihrt wurden. Aus dem gleiehen Grund habe ieh gelegentlich bestimmte Bereehnun gen in einer ebenso direkten wie uneleganten Weise durchgefiihrt, auch wenn ein asthetiseherer Zugang moglich gewesen ware. leh warfare jedoeh stets darum bemiiht, mieh am Geist, wenn schon nieht am Buchstaben der Mathematik zu orientieren. Der Leser, der dieses Bueh als Einfiihrung verwendet und dann die Theorie in ihrer voUen Strenge studieren will, muG von dem hier Dargelegten niehts vergessen.

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Immerhin wissen wir zumindest, daB wir die universelle Entfaltung an der Anzahl ihrer Entfaltungsparameter erkennen werden, die mit der Kodimension von T] ubereinstimmt. Als ersten Schritt betrachten wir bei unserer Suche nach der universellen Entfaltung den folgenden infinitesimalen Diffeomorphismus <1>: Xl-7x+¢(x,y), yl-7y+ 1/J(x,y) wobei ¢ und 1/J Polynome mit kleinen Koeffizienten sind. wirkt auf T] in folgender Weise: <1>: T](x,y) 1-7 g(x,y) aT] = T](x,y)+¢(x,y) ax aT] + 1/J(x,y) ay· Da ein Diffeomorphismus ist, sind T] und g vom gleichen Typ.

Dies erinnert an die Entfaltung einer Blutenknospe. Sowohl V(x) als auch V (x) sind strukturell stabil, wahrend + Cl'X 2 als Beispiel fur eine strukturell instabile Entfaltung steht. Entfaltungen, die wie V(x) sind und die eine fur stabile (sogenannte verselle) Entfaltungen minimale Parameterzahl aufweisen, werden universell genannt. Eines der wichtigen Theoreme, die wir nicht beweisen werden, rechtfertigt diesen Namen durch den Nachweis, da£; zwei universelle Entfaltungen der gleichen Singularitat aguivalent sind.

X 2y+h(x,y) I-+x 2y + x 2 1/J + 2xy¢ + 2 x¢1/J + y¢2 + ¢21/J + h (x + ¢, y + 1/J) Soll nun der 3-jet nicht geandert werden, dann durfen weder ¢ noch 1/J irgendwelche Terme nullter oder erster Ordnung haben. Sind aber die niedrigsten Terme in ¢ und 1/J quadratisch, dann ergibt sich h (x + ¢, Y + 1/J) = h (x, y) + Terme funfter und hoherer Ordnung. Bis zu den Termen vierter Ordnung finden wir daher

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