By Dr. Susanne Müller-Philipp, Dr. Hans-Joachim Gorski (auth.)
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Seien Eo und En die beiden Ecken mit ungerader Ordnung. Wir fiigen eine Hilfskante kh mit den Ecken Eo und E. ein. Dadurch erh6ht sich die Ordnung von Eo und En jeweils um 1 und alle Ecken haben gerade Ordnung. In dem modifizierten Graphen gibt es nach Fall (1) dieses Beweises einen Eulerschen Weg, der in Eo beginnt, fiber nach En ~hrt und wieder in Eo endet. L6schen wir die Hilfskante kn wieder, so entsteht ein Eulerscher Weg mit den Endecken Eo, E.. Bei einem zusammenh~ingenden Graphen mit 2 Ecken ungerader Ordnung sind diese beiden Ecken also Anfangs- trod Endecke eines (offenen) Eulerschen Weges.
El E2 k2 ~ 9 ~ ? Ei L ki .......... ~ 12 L2 1 - Die Endecke En von (kl, k2, k3. . . kn) muss mit Eo identisch sein. Ware das nicht der Fall, miissten Anfangsecke Eo und Endecke En ungerade Ordnung haben. - Haben wir mit (kl, k2, k3. . . kn) den Graph durchlaufen, ist dieser Teil des Beweises fertig. Anderenfalls gibt es eine Ecke El, an der ein weiterer geschlossener Weg (lb 12, 13, ... , lm) beginnt und endet, derm auch Ei hat gerade Ordnung. Die zusammengelegten Wege bilden wieder einen geschlossenen Weg (kb k2, k3 .
Der zusammenh/ingende Graph hat nicht mehr als zwei Ecken ungerader Ordnung. Der Graph sei also unikursal. Dann betrachten wir einen Eulerschen Weg mit der Anfangsecke Eo und der Endecke En und Eo~eine beliebige Ecke El, die von Eo und En verschieden ist. Wenn wir den Graph auf diesem Eulerschen En~"-,,~ fl Ei Weg durchlaufen, kommen wit mindestens " - 4 einmal, ggf. auch h~iufiger, z u E i und verlassen Ei auch jedes Mal wieder, denn Ei ist nicht EiCEo A EllEn Endecke des Weges. Zu Ei fiihren also gleich viele Kanten hin wie yon Ei fortfiihren.