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Sinon, il faut prouver que ρn soit B(xn − x) 2 − 2[ A(xn − x), xn − x + r ρn 2 r+ Au,u pour tout u tel que Bu = 0 et ρn Or : σ1∗ Bu 2 Donc l’inégalité (δ) a bien lieu. 38 . (γ) 0. B(xn − x) A(xn − x), xn − x B(xn − x) 2 2 2 ] 0, · (δ) α1 < 2 r + 1 σ∗ . 3. Fonctions convexes b) Par choix de ρn , on a : 2r − ρn > − σ2∗ et ρn Alors λn − λ 2 − 2 λn+1 − λ + 2 A(xn − x), xn − x ] = ρn [(2r − ρn ) α0 − 2 σ∗ α0 > 0 pour tout n. 2 B(xn − x) B(xn − x) 2 + 2 A(xn − x), xn − x . 1 B(xn − x) 2 (voir la formulation vaComme A(xn − x), xn − x σ∗ riationnelle de σ∗ et se rappeler que σ∗ > 0), le second membre de l’inégalité précédente est 0.

Que σ∗ = supu = 0 Au,u a) Démontrer que la suite λn − λ 2 n 0 et est décroissante. b) Montrer que : lim n−→+∞ B(xn − x) = 0 ; Déduire de ce qui précède : lim n−→+∞ lim n−→+∞ A(xn − x), xn − x = 0. xn = x. 3◦ ) Montrer également que la suite (λn ) converge quand n −→ +∞ vers λ∞ = λ + λ0,2 , où λ0,2 est la composante de λ0 dans Ker(B ) provenant de la décomposition ImB ⊕ Ker(B ) de RM , et λ le multiplicateur de Lagrange de norme minimale dans RM pour le problème (P) en question. Commentaire : Ce problème, dans lequel apparaissent bien des aspects de l’Optimisation, peut être abordé sans aucune connaissance spécifique à ce domaine ; seuls sont utilisés les résultats et techniques dans les thèmes qui font l’objet de révisions dans ce chapitre.

2◦ ) Montrer que le cône polaire [Pn (R)]◦ de Pn (R) n’est autre que −Pn (R). 3◦ ) On suppose ici que n = 2. a) Rappeler quelles conditions sur les réels a, b, et c sont nécessaires et ab suffisantes pour que A = soit semi-définie positive (resp. définie bc positive). b) On définit ϕ : S2 (R) −→ R3 par A= ab −→ ϕ(A) := (a, b, c). bc Dans R3 rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k), représenter 10 10 11 ϕ ,ϕ ,ϕ et ϕ (P2 (R)). 00 01 11 ab se trouvant bc sur la frontière de P2 (R) sont de forme xx , où x est un élément non ab se trouvant sur nul de R2 .