Show description

Rn º ÈÓÙÖ v ∈ S (Rn ) (fϕ , u ∗ v) ϕ(ξ) Rn = Rn ϕ(ξ) Rn = v(ξ + θ)ϕ(ξ)dξ u(−θ)dθ Rn Rn Rn Rn = = Rn Ò Ò¸ ÓÒ ´½º µ u(−θ)v(ξ + θ)dθ dξ Rn º u(ξ − η)v(η)dη dξ v(ξ − θ)ϕ(ξ)dξ u(+θ)dθ (∂−1 v ∗ ϕ) (ξ)u(ξ)dξ. Ð Ñ ÒØ ´ÚÓ Ö ÔÖÓÔÖ Ø (fϕ , F u) µ ϕ(η) (F u) (η)dη Rn = ´½º µ (F ϕ) (η)u(η)dη. Rn г × Ð ÙÐ× ÕÙ ÔÖ Òظ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒ ÔÖÓÔÓ× Ö Ð × ØÖ Ò×ÔÓ¹ × Ø ÓÒ× × ÓÔ Ö Ø ÙÖ× ÓÒ ÖÒ × Ò× S (Rn )º Ò Ø ÓÒ ¾¼º È Ö ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ¸ ÓÒ Ò Ø¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ f ∈ S (Rn ) Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ u ∈ S (Rn )¸ Ð × ÓÔ Ö Ø ÙÖ× ´ µ τ a ¸ a ∈ Rn Ø Ð ÕÙ (τ a f, u) = (f, τ −a u)¸ ´ µ ∂λ ¸ λ ∈ R\{0} Ø Ð ÕÙ (∂λ f, u) = |λ|n f, ∂1/λ u ¸ ´ µ ∂ γ ¸ γ ∈ Nn Ø Ð ÕÙ (∂ γ f, u) = (−1)|γ| (f, ∂ γ u)¸ ´ Úµ Λg ¸ g ∈ OM (Rn ) Ø Ð ÕÙ (Λg f, u) = (f, Λg u)¸ ´Úµ (· ∗ v)¸ v ∈ S (Rn ) Ø Ð ÕÙ (f ∗ v, u) = (f, (∂−1 v) ∗ u)¸ ´Ú µ F ¸ Ø Ð ÕÙ (Ff, u) = (f, F u)º ×ÓÒØ × ÓÔ Ö Ø ÙÖ× Ð Ò Ö × Ø ÓÒØ ÒÙ× S (Rn ) Ò× ÐÙ ¹Ñ Ñ º ÇÒ Ö Ñ ÖÕÙ Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ ØÓÙØ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÑÔ Ö f ÔÓ×× ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ø ×Ø Ò Ò Ñ ÒØ Ö ÒØ Ð Ù × Ò× × ×ØÖ ÙØ ÓÒ׺ ÁР׳ Ø Ð Ò¹× Ö ³ÙÒ Ú ÒØ × Ö Ø ÓÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð³ Ò ÐÝ× Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ø Ð³ ØÙ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ × ×Ý×Ø Ñ × Ð Ò Ö × Ò× Ð ÓÑ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð¸ ÓÙ Ò× Ð ÓÑ Ò × ØÖ Ò× ÓÖÑ × ÓÙÖ Öº Å Ø Ñ Ø ÕÙ × ÔÓÙÖ Ð × ×Ý×Ø Ñ × ÝÒ Ñ ÕÙ × ÆÓÙ× ÚÓÒ× Ò ÔÐÙ× ÙØ × ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Ø ÑÔ Ö × fϕ Ô Ö × ÒØ Ö Ð × ×ÙÖ Rn ´ÚÓ Ö ´½º ¿µµ¸ г ÓÒ Ø ÓÒ× ϕ ×Ù × ÑÑ ÒØ Ö ÙÐ Ö × º Ö Ø Ö ×Ù × ÑÑ ÒØ Ö ÙÐ Ö ×Ø ÔÖ × Ô Ö Ð ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ×Ù Ú ÒØ ¸ ÓÒØ ÙÒ ÔÖ ÙÚ × ØÖÓÙÚ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò× Ë À º ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ½ º ˳ Ð Ü ×Ø 1 ≤ p < ∞ Ø 0 ≤ m ÒØ Ö× Ø Ð× ÕÙ ϕ(ξ) 1 + ξ −m 2 Rn ∈ Lp (Rn ) , ÐÓÖ× Ð ÓÖÑ fϕ Ò Ô Ö ´½º ¿µ ×Ø ÙÒ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÑÔ Ö º Ö ×ÙÐØ Ø Ô ÙØ ØÖ ÓÑÔÐ Ø Ô Ö ÙÒ Ö ×ÙÐØ Ø ³ÙÒ Ø Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð × ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Ò × ØØ Ñ Ò Ö Ë À º ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ½ º Ë ϕ Ø ψ Ú Ö ÒØ ØÓÙØ × ÙÜ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ½ Ø Ò ×× ÒØ Ð Ñ Ñ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÑÔ Ö ¸ ³ ×ع ¹ Ö ×ÓÒØ Ø ÐÐ × ÕÙ ∀u ∈ S (Rn ) : ϕ(ξ)u(ξ)dξ = Rn ψ(ξ)u(ξ)dξ, Rn ÐÓÖ× ϕ = ψ ÔÖ ×ÕÙ Ô ÖØÓÙØ Ò× Rn º ÆÓÙ× Ó × ÖÚÓÒ× ÕÙ ¸ Ô Ö Ð Ö Ø Ö ØÖ × Ö ×ØÖ ÒØ Ð³ ×Ô S (Rn )¸ Ð Ð ×× × ÓÒ Ø ÓÒ× ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ò Ö × ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ ¹ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð ×Ø ØÖ × Ö Ò º ÐÐ ÓÒØ ÒØ ÒÓØ ÑÑ ÒØ ØÓÙ× Ð × ×Ô × Lp (Rn )¸ p ≥ 1¸ Ò× ÕÙ OM (Rn ) Ø C (Rn )º Ô Ò Òظ Ð Ü ×Ø × ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Ø Ñ¹ Ô Ö × ÕÙ Ò ×ÓÒØ Ô × Ò × Ô Ö × ÓÒ Ø ÓÒ× ϕº Ò× ¸ г ÑÔÙÐ× ÓÒ Ö Ò Ô Ö δ : S (Rn ) → C : u → (δ, u) = u(0) ´½º ¼µ ×Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ø ÓÒØ ÒÙ ¸ ³ ×ع ¹ Ö ÙÒ Ô Ò Òظ Ð Ò³ Ü ×Ø Ù ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ϕ Ò× Ð³ Ò× Ñ Ð Ð³ ÝÔÓØ × Ð ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ½ ¸ Ø ÐÐ ÕÙ u(0) = Rn ½º º º ÌÖ Ò× ÓÖÑ × ϕ(ξ)u(ξ)dξ, ∀u ∈ S (Rn ) .

R\{0} (fϕ , ∂λ u) Rn ξ ϕ(ξ)u( )dξ λ n = |λ| ´½º µ ϕ(λξ)u(ξ)dξ Rn n = Rn |λ| ∂ λ1 ϕ (ξ)u(ξ)dξ. ¿º ÈÓÙÖ γ ∈ Nn (fϕ , ∂ γ u) ϕ(ξ)∂ γ u(ξ)dξ Rn |γ| ∂ γ ϕ(ξ)u(ξ)dξ = (−1) Rn |γ| (−1) = Rn ∂ γ ϕ (ξ)u(ξ)dξ. ´½º µ ÌÖ Ò× ÓÖÑ × ÒØ Ö Ð × Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ× ¿ º ÈÓÙÖ g ∈ OM (Rn ) (fϕ , Λg u) ϕ(ξ)g(ξ)u(ξ)dξ Rn = ´½º µ (Λg ϕ) (ξ)u(ξ)dξ. Rn º ÈÓÙÖ v ∈ S (Rn ) (fϕ , u ∗ v) ϕ(ξ) Rn = Rn ϕ(ξ) Rn = v(ξ + θ)ϕ(ξ)dξ u(−θ)dθ Rn Rn Rn Rn = = Rn Ò Ò¸ ÓÒ ´½º µ u(−θ)v(ξ + θ)dθ dξ Rn º u(ξ − η)v(η)dη dξ v(ξ − θ)ϕ(ξ)dξ u(+θ)dθ (∂−1 v ∗ ϕ) (ξ)u(ξ)dξ.

Lu = (2iπ)−1 ∂ (2,0) − ∂ (0,2) u ÓÖÖ ×¹ 2 ÔÓÒ Ù ×ÝÑ ÓÐ P (η) = (2iπ) η1 − η22 Ø ×Ø ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ ³ÓÖ Ö ¾ Ñ × ÒÓÒ ÐÐ ÔØ ÕÙ Ö ×ÓÒ ×ÝÑ ÓÐ ÔÖ Ò Ô Ð P2 (η) = P (η) ׳ ÒÒÙÐ ÔÓÙÖ η = 0 Ñ × Ù×× ÔÓÙÖ η1 = η2 = 0º ÁÐ ×Ø ÔÓ×× Ð Ò Ö Ð × ÖÐ Ñ Ö ÕÙ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ×Ù Ú ÔÓÙÖ Ö ×ÓÙ Ö Ð³ È ´½º ¼µ × ÓÔ Ö Ø ÙÖ× Ö ÒØ Ð× Ð Ò Ö × ÔÐÙ× Ò Ö Ùܺ ij Ü ×Ø Ò ¸ гÙÒ Ø Ø Ð ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ò× S (Rn ) ×³Ó Ø ÒÒ ÒØ Ð Ñ Ñ Ñ Ò Ö º Ä ÕÙ ×Ø ÓÒ Ð Ö ÙÐ Ö Ø ØØ ×ÓÐÙØ ÓÒ ×Ø ÔÐÙ× Ð Ø º ¹ Ô Ò Òظ ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ÒØ Ð× ÐÐ ÔØ Õ٠׸ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ù× Ù Ø ÓÖ Ñ ¹ ××ÓÙ× ´ÚÓ Ö × ÑÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ Ò× ÏÁÄ ¸ Ô Ö Ü ÑÔÐ µº Ì ÓÖ Ñ ´ Ö ÙÐ Ö Ø ÐÐ ÔØ ÕÙ µº ËÓ Ø P (D) ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ö ÒØ Ð ÐÐ ÔØ ÕÙ ³ÓÖ Ö m¸ Ω ÙÒ ÓÙÚ ÖØ Rn Ø u ∈ D (Rn )º Ë P (D)u ∈ Hsloc (Ω) loc ÐÓÖ× u ∈ Hs+m (Ω)º Ë ÔÐÙ× P (D)u ∈ C ∞ (Ω) ÐÓÖ× u ∈ C ∞ (Ω)º Ä × ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ö ×ÙÐØ Ø Ð³ Ò ÐÝ× ÒÙÑ Ö ÕÙ × ÔÖÓ Ð Ñ × ¹ Ö ÒØ Ð× ÐÐ ÔØ ÕÙ × ×ÓÒØ ØÖ × ÑÔÓÖØ ÒØ ×º ËÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙ un ×Ó Ø ÙÒ ×Ù Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÔÔÖÓ × Ø ÐÐ × ÕÙ P (D)un → 0 Ø un → u, Ñ × ÓÒØ ÓÒ Ò Ô ÙØ Ø Ð Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò ÕÙ³ Ò ÙÒ × Ò× ØÖ × Ð ´ ÓÒÚ Ö Ò Ù × Ò× D µº È Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ P (D) Ò× D ¸ ÓÒ Ó Ø ÒØ P (D)u = 0º Ë Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ P (D) ×Ø ÐÐ ÔØ ÕÙ ¸ ÓÒ ÔÓÙÖÖ ÓÒ ÐÙÖ Ù Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ ÕÙ u ∈ C ∞ (Ω) Ø ÕÙ u ×Ø ÙÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ù × Ò× Ð ×× ÕÙ ´×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖØ µ P (D)u = 0º Ü Ñ ÒÓÒ× Ñ ÒØ Ò ÒØ Ð × Ü ÑÔÐ × ÔÖ ÒØ× ³ÓÔ Ö Ø ÙÖ× Ö ÒØ Ð׺ Ü ÑÔÐ º ´½µ ÓÑÑ Ð Ð ÔÐ Ò ×Ø ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ¸ ØÓÙØ ÓÒ Ø ÓÒ ÖÑÓÒ ÕÙ ×ÓÐÙØ ÓÒ ∆u = 0 ×Ø Ð ×× C ∞ º ÔÐÙ׸ × ÙÒ ×Ù Ø Ø ÓÔ Ö Ø ÙÖ ×Ø ÙØ Ð × ÔÓÙÖ Ö Ø Ö × Ö Ð × ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÐÓÑÓÖÔ × ³ÙÒ Ú Ö Ð Óѹ ÔÐ Ü º Ë f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)¸ ÐÓÖ× f ×Ø ÓÐÓÑÓÖÔ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × Lf = 0º Å Ø Ñ Ø ÕÙ × ÔÓÙÖ Ð × ×Ý×Ø Ñ × ÝÒ Ñ ÕÙ × ÓÒ Ø ÓÒ× ÖÑÓÒ ÕÙ × ÓÒÚ Ö Ù × Ò× Ô ÙØ ØÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÖÑÓÒ ÕÙ º × ×ØÖ ÙØ ÓÒ׸ ÐÓÖ× Ð Ð Ñ Ø Ò ´¾µ ÓÑÑ Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ ×Ø ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÐÐ ÔØ ÕÙ ¸ ØÓÙØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐÓÑÓÖÔ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ý¹Ê ÑÑ Ò ×Ø Ð ×× C ∞ º Ë ÙÒ ×Ù Ø ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÐÓÑÓÖÔ × ÓÒÚ Ö Ù × Ò× × ×ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ׸ ÐÓÖ× Ð Ð Ñ Ø Ò Ô ÙØ ØÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐÓÑÓÖÔ º ´¿µ Ä × ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ u(t, z) = u1 (t + z) + u2 (t − z) , Ó Ö Ð ÕÙ Ð ×× C 2 º Ä Ø ÓÖ Ñ ÔÙ ×Õ٠гÓÔ Ö Ø ÙÖ × ÓÒ × Ò³ ×Ø Ô ½º º Ç 2 2 × ÓÒ × ∂∂tu2 = ∂∂zu2 ×ÓÒØ Ð ÓÖÑ Ð × ÓÒ Ø ÓÒ× u1 Ø u2 Ò ×ÓÒØ Ò Ò ¹ Ö ÙÐ Ö Ø Ò ×³ ÔÔÐ ÕÙ Ô × Ò× × × ÐÐ ÔØ ÕÙ º ÐÓ Ö Ô ÓÝ Ëº¸ ٠ĺ¸ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ× Û Ø ÎÓÐØ ÖÖ × Ö ×¸ Á ÌÖ Ò׺ ÓÒ Ö Ù Ø× Ò ◦ ËÝ×Ø Ñ׸ ÚÓк ¿¾¸ Ò ½½¸ Ôº ½½ ¼¹½½ ½¸ ½ º Ç Ó Ø× º¸ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø Ø ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ä ÔÐ ØÖ Ò×¹ ÓÖѸ ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ½ º Ã Ï ¾ Ã Û Ø Ìº¸ ÓÙÖ Ö Ò ÐÝ× × Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖݸ Ñ ÈÖ ×׸ ½ ¾º ÊÁ ¼½ Ê Ö ÂºÈº ´ Öºµ¸ Ð Ö Ø Ò ÐÝ× ÔÓÙÖ Ð³ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ¸ À ÖÑ ×¸ ÌÖ Ø Á ¾¸ ¾¼¼½º Ë À ¿ Ë Û ÖØÞ Äº¸ Ò ÐÝ× ¹ ØÓÑ Ø ÓÖ Ð Ñ ×ÙÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ À ÖÑ ÒÒ¸ ½ ¿º Ë À Ë Û ÖØÞ Äº¸ Ì ÓÖ × ×ØÖ ÙØ ÓÒ׸ À ÖÑ ÒÒ¸ ½ º ÏÁÄ Ï ÐÐ Ñ Åº¸ Ò ÐÝ× ÖÑÓÒ ÕÙ Ö ÐÐ ¸ À ÖÑ ÒÒ¸ ½ º ¿ ĺ¸ ×Ó Ö º¸ Ä Ò Ö ×Ý×Ø Ñ Ø ÓÖݸ Å Ö Û¹À Ðи ½ ¿º Ô ØÖ ¾ Ð ÙÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ Ð Å Ù× × Ä³ Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÑÔ Ø Ð Ø ´ºººµ ÓÒØÖ Ù Ð ÔÖ × ÖÚ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ò ÒÒ Ø Ñ Ð Ö ¸ ÒÓÒ Ô × Ò Ö ×ÓÒ ³ÙÒ ÕÙ Ð ÓÒÕÙ Ú ÒØ Ò Ö ÒØ Ô Ö ÕÙ³ ÐÐ × Ö Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ñ ÙÜ ÓÒ Ò× Ð³Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ÕÙ Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ¸ ÓÙ ÕÙ³ ÐÐ × Ö Ø ÔÐÙ× Ð ÒØ Ñ × Ô Ö ÕÙ³ ÐÐ ×Ø Ò ÒÒ Ø ÑÐ Ö º Ⱥ Ý Ö Ò ¸ ÓÒØÖ Ð Ñ Ø Ó ¸ Ë Ù Ð¸ ½ º ÈÓÙÖ ØÖ Ø Ö ÓÒ × ÑÔÐ Ø Ö Ô Ð × ×Ý×Ø Ñ × ³ ÕÙ Ø ÓÒ× Ö Ò¹ Ø ÐР׸ À Ú × ¸ Ò ½ ¿ À ¿¸ ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ð ÙÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ Ð × ×ÙÖ Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ¸ × Ñ ¹ ÒØÙ Ø Ú ¸ гÓÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ú Ø ÓÒ p = / t.