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By Dr. rer. nat. Ulf Friedrichsdorf, Dr. rer. nat. Alexander Prestel (auth.)

Inhalt
Inhalt: Mengen und Klassen - Relationen und Funktionen - Natürliche Zahlen - Ganze und cause Zahlen - Reelle und komplexe Zahlen - Wahlordnungen - Ordinalzahlen - Ordinalarithmetik und von Neumannsche Stufen - Das Auswahlaxiom - Anwendungen des Auswahlaxioms - Mächtigkeiten und Kardinalzahlen - Kardinalzahlarithmetik - Das Kontinuum - Epilog.

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Y) = (0' . ,6) . r 'Y < 8 und 0: 0 => 0:. 'Y < 0: . 8 * Kapitel8 Ordinalzahlarithmetik und von Neumannsche Stufen (5) 1'<8 (6) (7) (8) O"(~+I')=O"~+O"I' 57 1" 0'<8, 0' => = 0' . I' und 0'"* 0 => ~ = I' Lim (A) => 0" A = U (0" v) . v< ;\. 0" ~ Daraus erhiilt man fur die funktionale Klasse Go: (~) := 0' . ~ die folgenden Rekursionsgleichungen Go: (0) =0 Go: (~') Go: (A) =Go: (~) + 0' =U v< ;\. Go: (v) flir Limeszahlen A. B. gilt 2 . w = w und W· 2 = w +w > w . Die Beispiele (1 + 1) . w = 2· w = w < w + W 1 'w=2'w =1 .

H. es gibt ein s mit IYil < s flir alle i. Sei € > 0 gegeben. Da (Xi) Nullfolge ist, gibt es ein n mit I xii n. Dann folgt IXi yd <€ flir i>n. Also ist das Produkt eine Nullfolge. Wir haben damit nachgewiesen, daE die Menge N aller Nullfolgen ein Ideal des Ringes Caller Cauchyfolgen ist. Das Ideal N fUhrt zu einer Restklassenstruktur IR := C(, wobei die Aquivalenzrelation - in C durch (Xi) - (Yi) : = (Xi - Yi) E N gegeben ist. Die Elemente von IR he~en reelle Zahlen. 38 Kapitel 5 Reelle und komplexe Zahlen Die Operationen in 1R sind definiert durch (~) + (~):= (Xi + Yi) (i;) • (r;) : = (Xi' Yi) .

Fiir a<'p gelte VacV{3. 1st a<'p', soist a<'p oder a=(3'. Esfolgtdann VaCV{3 oder Va =V{3+1' Da V{3EV{3+1' ergibt (1) auch V{3 C V{3+1 und damit Va C V{3" (C) Sei A Limeszahl. Da VA= U V" ist, folgt flir a <. A sofort Va eVA' ,,< A o Nun zeigen wir, dl& jede Menge in einem Va vorkommt. S) Satz: V= U Va. aEOn Beweis: Setze A : = V \ U V",. 1st A"*~, so gibt es aufgrund des Fundierungs. aEOn axioms ein x E A mit x n A = ~. Das hei~t aber xC U Va und flir kein a aEOn ist x E Va. Also gibt es zu jedem y Ex ein a E On mit y E Va.

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