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By Béla v. Sƶ. Nagy (auth.)

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Aus der 1dentitat 1. 1 (2) folgt dann (V I, V g) = (I, g) fiir jedes Paar I, g aus 'IJ v . 1st 'IJ v = ffi, so ist also V* V = I; ist auch IDS v = ffi, so hat man VV* = VV*VV-1 = VIV-1 = I. Eine iso1 CALKIN [1J. 453] CAYLEYSche Transformierte. 37 metrisehe Transformation ist also dann (und nur dann) unitar, wenn SD v = )illv = ffi. Sei Heine symmetrisehe Transformation. Fiir jedes t E SDH hat man (1) IIHf ± ijll2 = (Hf, Hf) Aus (H + i1)f = Man nennt (2) °folgt ± i(f, Hf) =f i(Hj, j) + (f, f) = IIHfll2 also f = 0, demnaeh existiert (H V H = (H - i1) (H + IIf1l2.

1 existiert dann aber auch (H*)-l und ist gleich (H-1)*. Aus H S H* folgt offenbar H-1 S (H*)-l. Also H-1 £;; (H-1)*; H-1 ist symmetrisch. H ist dann und nur dann gleich H*, wenn H -1 gleich (H*) -1, d. h. gleich (H-1)* ist. 2. Halbbeschrankte symmetrische Transformationen. Eine symmetrische Transformation H heiBt von unten bzw. von oben halbbeschrankt, wenn es eine Zahl c derart gibt, daB (HI, I) :> c(j, I) bzw. (HI, I)

Dies ergibt, mit Rucksicht auf A;A; (A;Atf, f) :> = 440 ] 0, ((A;)2f, f) = IIA;fI12 • Wenn also At! E;. = E;.. Nachdem die Monotonie von E;. bewiesen' wurde, zeigen wir, daB E;. < m und E;. = I fUr A:> M (m, M bezeichnen die untere bzw. obere Grenze von A). < m, dann ist A;. positiv, folglich ist, wegen der Eindeutigkeit der positiven Quadratwurzel, B;. , und somit At auch gleich A;.. f = 0 nur fUr f = 0 statthat, d. h. E;. = o. :> 0, also B;. , At = 0 und somit E;. = I. uJ; fUr die Projektion E(<5) = Ep.

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