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Der Beweis dieses allgemeinen Satzes war eine der berühmten Leistungen von LEJEUNE-DIRICHLET (1805-1859), einem der großen Meister seiner Generation. Sein Erfolg beruhte auf einer genialen Anwendung der höheren Analysis. Noch heute, nach hundert Jahren, zählt DIRICHLETs Arbeit über diesen Gegenstand zu den hervorragendsten Leistungen der Mathematik. Es ist bisher nicht gelungen, seinen Beweis so zu vereinfachen, daß er denen zugänglich ist, die nicht in der Technik der Infinitesimalrechnung und Funktionentheorie bewandert sind.

Anleitung: Man teile p -1 durch e, was p - l = ke ergibt, wobei 0 ~ r +r < e, und benutze, daß aJ>-l == a == 1 (mod P). 8 3. Quadratische Reste Betrachten wir die Beispiele zum Fermatschen Satz, so finden wir, da:ß nicht nur immer a P - 1 == 1 (mod P) ist, sondern daß (wenn p eine von 2 verschiedene Primzahl, also ungerade und von der Form 2p' + 1 ist) darüber hinaus für manche p-l Werte von a auch aP' = a-2 - == 1 (mod P) ist. Diese Tatsache regt zu interessanten Untersuchungen an. Wir können den Fermatschen Satz in folgender Form schreiben: aP - 1 - 1 = a2p ' - 1 = (a P' - 1) (a P' + 1) == 0 (modp) .

A+b b==O 1 2 3 4 a==O 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 a'b b==O 1 2 3 4 a==O 1 2 3 4 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 Aus der zweiten Tabelle geht hervor, daß ein Produkt ab nur dann kongruent 0 (mod 5) ist, wenn a oder b kongruent 0 (mod 5) ist. Das deutet auf das allgemeine Gesetz ab == 0 (mod d) nur, wenn a == 0 oder b == 0 (mod d) . 7) Dies ist eine Erweiterung des gewöhnlichen Gesetzes für ganze Zahlen, nach dem ab nur = 0 sein kann, wenn a = 0 oder b = O.